[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2025年(令和7年)京都大学-数学(理系)[2]

2025.03.02記

[2] 正の整数 $x，y，z$ を用いて
$N=9z^2=x^6+y^4$
と表される正の整数 $N$ の最小値を求めよ．

2025.03.02記

[解答]
3で割り切れる正の整数の2乗を3で割った余りは0である．
3で割って1余る正の整数の2乗を3で割った余りは1である．
3で割って2余る正の整数の2乗を3で割った余りは1である．

9の倍数 $N=9z^2$ を3で割った余りは0であるから，2つの平方数の和 $N=x^6+y^4$ を3で割った余りが0となるためには，2つの平方数が共に3で割り切れなければならない．

よって $x^3，y^2$ は共に3の倍数で，よって $x，y$ も3の倍数となる．

そこで $x=3p，y=3q$ （ $p，q$ は正の整数）とおくと $9z^2=81(9p^6+q^4)$ ，つまり $z^2=9(9p^6+q^4)$ が成立する．よって $z^2$ は3の倍数となり，よって $z$ も3の倍数となる．

そこで $z=3r$ （ $r$ は正の整数）とおくと $r^2=9p^6+q^4$ が成立する．

ここで $p，q，r$ は正の整数で， $r$ が最小となるものが $N=81r^2$ を最小にする．

$(p，q)=(1，1)$ のとき $r^2=10$ より $r$ は正の整数ではない．

$(p，q)=(1，2)$ のとき $r^2=25$ より $r=5$ は正の整数であり $N=2025$ である．

これが $N=2025$ が最小であることを示すには，これ以外の場合に $r\gt 5$ を示せば良い．

$p=1，q\geqq 3$ のとき $r^2\gt 25$ であるから，この場合に $N$ は最小とはならない．

$p\geqq 2$ のとき $r^2\geqq 9\cdot 64+1\gt 25$ であるから，この場合に $N$ は最小とはならない．

よって $N$ の最小値は $2025$ である．