2026年(令和8年)大阪大学-数学(文系) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2026.03.18.12:03:15記

[1] 正の実数の列 $\{a_n\}$ が次の条件によって定められている．
$a_1=1$ ， $a_2=2$ ， $a_{n+2}=\dfrac{3^na_{n+1}^2}{a_n}$ （ $n=1，2，3，\cdots$ ）

(1) $b_n=\log_2 a_{n+1}-\log_2 a_{n}$ （ $n=1，2，3，\cdots$ ）と定めるとき，数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ．

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．

[2] 空間内に $4$ 点 $\mbox{O}$ ， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ があり， $\mbox{OA}=\mbox{OB}=\mbox{OC}=1$ である．また， $\angle\mbox{AOB}=\angle\mbox{AOC}=90^{\circ}$ ， $\angle\mbox{BOC}=60^{\circ}$ である． $t$ を正の実数とし，点 $\mbox{D}$ ， $\mbox{E}$ は $\overrightarrow{\mbox{OD}}=t\overrightarrow{\mbox{OB}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OE}}=(2t + 1)\overrightarrow{\mbox{OC}}$ をみたす点とする．点 $\mbox{P}$ は $\overrightarrow{\mbox{OA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OP}}=-1$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OP}}=1$ をみたしていて，さらに $4$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{D}$ ， $\mbox{E}$ ， $\mbox{P}$ は同一平面上にある． $\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}$ とおく．