1975年(昭和50年)京都大学-数学(理系)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2026.04.20.17:56:25記

[6] $\triangle\mbox{ABC}$ で $\angle \mbox{A}={90}^{\circ}$ ， $\overline{\mbox{AB}}=\overline{\mbox{AC}}=2$ とする．頂点 $\mbox{A}$ から斜辺 $\mbox{BC}$ に垂線 $\mbox{AH}$ をひく（ $\mbox{H}$ はその交点）．半直線 $\mbox{AH}$ 上に中心 $\mbox{O}$ をもつ半径 $1$ の円を考える．

(i) $\triangle\mbox{ABC}$ の $3$ つの辺が円 $\mbox{O}$ の周とそれぞれ $2$ 点で交わるのは， $\overline{\mbox{AO}}=x$ がどのような範囲にあるときか．

(ii) $\triangle\mbox{ABC}$ と円 $\mbox{O}$ の内部の共通部分の面積を $S$ とする． $x$ が(i)の範囲にあるとき， $S$ をつぎの関数 $F(t)$ を用いて表わせ．

$F(t)=2\displaystyle\int_t^1\sqrt{1-u^2}\,du$ （ $0\leqq t \leqq 1$ ）

(iii) $x$ は(i)の範囲にあるとする． $\dfrac{dS}{dx}$ を求め， $S$ を最大にする $x$ の値を求めよ．

2026.04.21.16:54:33記

[解答]
(i) 円と線分 $\mbox{AB}$ が $2$ 点で交わるのは， $\mbox{O}$ と直線 $\mbox{AB}$ の距離 $\dfrac{x}{\sqrt{2}}$ が円の半径 $1$ よりも小さく， $\mbox{A}$ が円の外にあることから（ $\mbox{OB}\gt \mbox{HB}=\sqrt{2}$ より $\mbox{B}$ は必ず円の外にある）， $1\lt x\lt\sqrt{2}$ が必要である．このとき対称性から円と線分 $\mbox{AC}$ も $2$ 点で交わる．そしてこのとき円 $\mbox{O}$ と線分 $\mbox{BC}$ の距離 $\sqrt{2}-x$ は $1$ 未満であるから，円と線分 $\mbox{BC}$ も $2$ 点で交わる．以上から求める範囲は $1\lt x\lt\sqrt{2}$ である．

(ii) $F(t)$ は円の中心との距離が $t$ である直線よりも外側にある円の弓形の面積であるから， $S=\pi-2F\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)-F(\sqrt{2}-x)$ となる．

(iii) $F'(t)=-2\sqrt{1-t^2}$ であるから，
$\dfrac{dS}{dx}$ $=2\cdot 2\sqrt{1-\dfrac{x^2}{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}+2\cdot \sqrt{1-2+2\sqrt{2}x-x^2}\cdot(-1)$ $=2\sqrt{2-x^2}-2\sqrt{2\sqrt{2}x-x^2-1}$
が成立する．よって $\dfrac{dS}{dx}=0$ となるのは $2-x^2=2\sqrt{2}x-x^2-1$ ，つまり $x=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}$ のときであり，この前後で $2\sqrt{2-x^2}$ は減少， $2\sqrt{1-(\sqrt{2}-x)^2}$ は増加であるから $\dfrac{dS}{dx}$ は正から負へと符号を変化させるので，最大となる．よって $S$ を最大にする $x$ は　 $x=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}$ である．