2024.02.28記 [6] 2以上の整数で，1とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という．以下の問いに答えよ．(1) とする． が素数となるような整数 をすべて求めよ． (2) を整数の定数とし， とする． が素数となるような整数 の個数は3個以下であることを…

2024.02.28記 [5] 座標空間内に3点 ，， をとり， を線分 の中点とする．三角形 の周および内部を 軸のまわりに1回転させて得られる立体の体積を求めよ．本問のテーマ 軸の正射影と体積の関係 2024.02.25記 多くのチート解法は，図形を軸に射影する方針(これ…

2024.02.28記 [4] とおく． を満たす実数 に対し，座標平面上の点 を通り，この点において放物線 との共通の接線を持ち， 軸上に中心を持つ円を とする．(1) 円 の中心の座標を ，半径を とおく． と を の整式で表せ．(2) 実数 は を満たすとする．円 が点 …

2024.02.28記 [3] 座標平面上を次の規則(i)，(ii)に従って1秒ごとに動く点 を考える．(i) 最初に， は点 にいる．(ii) ある時刻で が点 にいるとき， その 1 秒後には は 確率で軸に関して と対称な点 確率で軸に関して と対称な点 確率で軸に関して と対称…

2024.02.28記 [2] 次の関数 を考える． （）(1) を満たす実数 で， となるものを求めよ．(2) (1)で求めた に対し， の値を求めよ．(3) 関数 の区間 における最大値と最小値を求めよ．必要ならば， であることを用いてよい．本問のテーマ はみ出し削り論法（…

2024.02.28記 [1] 座標空間内の点 をとる． 平面上の点 が次の条件(i)，(ii)，(iii) をすべて満たすとする．(i) は原点 と異なる．(ii) (ii) がとりうる範囲を 平面上に図示せよ．2024.02.25記 [解答] とおくと (i)より である．(ii)より ，つまり かつ とな…

[2] 図のように，同一直線上にない3点 ，， を平面にとり， を考える．ただし，，， とする．， とおく．線分 を に外分する点を とする．さらに，点 を を満たすようにとる．(1) を ， を用いて表すと， となり， を ， を用いて表すと， となる．ゆえに， …

2024.02.17記 [5] 平面上において，以下の媒介変数表示をもつ曲線を とする． ただし， とする．(1) の最大値，最小値を求めよ．(2) となる の範囲を求め， の概形を 平面上に描け．(3) を 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 を求めよ． 注) 「 と 軸で…

2024.02.17記 [4] 2つのチーム ， が 回試合を行う．ただし， とする．各試合での ， それぞれの勝つ確率は とし，引き分けはないものとする． が連敗しない確率を とする．ただし，連敗とは2回以上続けて負けることを言う．(1) を求めよ．(2) を と を用い…

2024.02.17記 [3] 点 ，，， を頂点とする四面体 を考える．辺，， の中点をそれぞれ ，， とし，辺 ，， の中点をそれぞれ ，， とする．(1) 辺 ，， が1点で交わることを示せ．(2) のとき，点 ，，，，， が同一球面上にあることを示せ．(3) (2)において，…

2024.02.17記 [2] を自然数とし，数1，2，4を重複を許して 個並べてできる 桁の自然数全体を考える．そのうちで3の倍数となるものの個数を ，3で割ると1余るものの個数を ，3で割ると2余るものの個数を とする．(1) を を用いて表せ．同様に， を を用いて，…

2024.02.17記 [1] 円 に接する直線で， 切片， 切片がともに正であるものを とする． と と 軸により囲まれた部分の面積を ， と と 軸により囲まれた部分の面積を とする． が最小となるとき， の値を求めよ．2024.02.17記 図形を 軸対称にしたものとあわせ…

2023.12.20記 [5] 空間において， 点 ，， を頂点とする三角形 を考える．以下の問に答えよ．(1) を求めよ．(2) に対し，線分 ， と平面 との交点をそれぞれ ， とする．点 ， の座標を求めよ．(3) に対し，点 と線分 の距離を で表せ．ただし，点と線分の距…

2023.12.20記 [4] 複素数平面上に 点， がある．ただし， は虚数単位である．複素数 に対し で表される点 を考える．以下の問に答えよ．(1) ，， のときの をそれぞれ計算せよ．(2) 実数 に対し とする． について， の実部を求め，さらに を求めよ．(3) と…

2023.12.20記 [3] 実数 に対して関数 を で定め，正の実数 に対して関数 を で定める．また， のグラフをそれぞれ， とする．以下の問に答えよ．(1) と がそれぞれ互いの逆関数であることを示せ．(2) 直線 と が 点で交わることを示せ．ただし，必要なら を…

2023.12.20記 [1] 赤玉と黒玉が入っている袋の中から無作為に玉を1つ取り出し，取り出した玉を袋に戻した上で，取り出した玉と同じ色の玉をもう1つ袋に入れる操作を繰り返す．以下の問に答えよ．(1) 初めに袋の中に赤玉が1個，黒玉が1個入っているとする． …

2023.12.20記 [1] を自然数として，整式 を で割った余りを とおく．以下の問に答えよ．(1) と を，それぞれ と を用いて表せ．(2) 全ての に対して， と は で割り切れないことを示せ．(3) と を と で表し，全ての に対して， つの整数 と は互いに素であ…

2023.12.16記 [3] 何も入っていない2つの袋A，Bがある．いま，「硬貨を1枚投げて表が出たら袋A，裏が出たら袋Bを選び，以下のルールに従って選んだ袋の中に玉を入れる」という操作を繰り返す． ルール・選んだ袋の中に入っている玉の数がもう一方の袋の中に…

2023.12.03記 [2] 分母が奇数，分子が整数の分数で表せる有理数を「控えめな有理数」と呼ぶことにする．例えば ， はそれぞれ ， と表せるから，ともに控えめな有理数である． 個以上の有理数の控えめな有理数 ，， に対して，集合 を， と定める．例えば は…

2023.11.27記 を自然数として， を求めよ．2023.11.27記 1989年(昭和64年)東京工業大学-数学[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2023年(令和5年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同様にすれば暗算でできる． [大人の解答] で…

2023年(令和5年)大阪大学-数学(理系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ

2023.11.27記 [2] 正の実数， に対して， とする．(1) とするとき， を， を用いて表せ．(2) が の範囲を動くとき， の最大値 を を用いて表せ．2023.11.27記 は基本．最大・最小の候補は端点または極値 [解答] (1) (2) が の範囲を動くとき， である． とお…

2023.11.27記 [1] ， を実数とする． についての方程式 が実数解をもつような点 の存在範囲を座標平面上に図示せよ．包絡線の知識を知っていれば 平面の直線 は で に接することから，答を確認できる．2023.11.27記 [解答] とおくと の における値域を求めれ…

2023.11.27記 [5] 1個のさいころを 回投げて， 回目に出た目を とする． を により定義し， が7の倍数となる確率を とする．(1)， を求めよ．(2)数列 の一般項を求めよ．2023.11.27記 サイコロの目が1〜6，7が素数となることがポイントとなる絶妙な問題． […

2023.11.26記 [4] ， を かつ をみたす実数の定数とする．座標空間の点 と点 をとる．点 を通り直線 と垂直な平面を とし，平面 と直線 との交点を とする．(1) が成り立つことを示せ． (2) をみたすように点 が 平面上を動くとき，点 の軌跡を求めよ．円錐…

2023.11.26記 [3] を座標平面上の点とし，点 の座標を とする． の範囲にある実数 のうち，曲線 上の点 における接線が点 を通る という条件をみたすものの個数を とする． かつ をみたすような点 の存在範囲を座標平面上に図示せよ．2023.11.26記 凸な弧に…

2023.11.26記 [2] 平面上の3点，， が かつ をみたすとする．(1) を 求めよ．(2)平面上の点 が かつ をみたすように動くとき， の最大値と最小値を求めよ．2023.11.26記 こんなに があると3倍したくなる．すると が に見えてきて， という関係式に気付く． […

2023.11.24記 (1) とおくとき， を求めよ．(2) とおくとき， を求めよ．(3) を示せ．本問のテーマ メルカトル級数 交代調和級数2023.11.24記 2023年(令和5年)大阪大学-数学(理系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR の類題．阪大の と の関係があるので，…

2023.11.24記 [3] 数列 ， を により定める．次の問いに答えよ．(1) を求めよ．(2) （）を示せ．(3) を求めよ．本問のテーマ メルカトル級数 交代調和級数2023.11.24記 [解答] (1) ，，(2) であり， であるから，帰納的に (3)

2023.11.24記 [1] を2以上の自然数とする．(1) のとき，次の不等式が成り立つことを示せ． (2) とするとき，次の極限値を求めよ． 本問のテーマ メルカトル級数 交代調和級数2023.11.24記 と があれば，前者を0から1まで積分しろということに気付くだろう．…