2022年(令和4年)京都大学-数学(理系) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.27記

[1] $5.4 \lt \log_4 2022 \lt 5. 5$ であることを示せ．ただし， $0.301 \lt \log_{10} 2 \lt 0. 3011$ であることは用いてよい．

[2] 箱の中に $1$ から $n$ までの番号がついた $n$ 枚の札がある．ただし $n\geqq 5$ とし，同じ番号の札はないとする．この箱から $3$ 枚の札を同時に取り出し，札の番号を小さい順に $X,Y,Z$ とする．このとき， $Y-X\geqq 2$ かっ $Z-Y\geqq 2$ なる確率を求めよ．

[3] $n$ を自然数とする． $3$ つの整数が $n^2+2,n^4+2,n^6+2$ の最大公約数 $A_n$ を求めよ．

[4] 四面体 ${\rm OABC}$ が
${\rm OA}=4$ ， ${\rm OB=AB=BC}=3$ ， ${\rm OC=AC}=2\sqrt{3}$
を満たしているとする． ${\rm P}$ を辺 ${\rm BC}$ 上の点とし， $\triangle {\rm OAP}$ の重心を ${\rm G}$ とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1) $\vec{\rm PG}\perp \vec{\rm OA}$ を示せ．

(2) ${\rm P}$ が辺 ${\rm BC}$ 上を動くとき， ${\rm PG}$ の最小値を求めよ．

[5] 曲線 $C:y=\cos^3 x$ $\left(0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ ， $x$ 軸および， $y$ 軸で囲まれる図形の面積を $S$ とする． $0\lt t \lt\dfrac{\pi}{2}$ とし， $C$ 上の点 ${\rm Q}(t, \cos^3 t)$ と原点 $\rm O$ ，および ${\rm P}(t,0)$ ， ${\rm R}(0,\cos^3 t)$ を頂点にもつ長方形 $\rm OPQR$ の面積を $f(t)$ とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1) $S$ を求めよ．

(2) $f(t)$ は最大値をただ $1$ つの $t$ でとることを示せ．そのときの $t$ を $\alpha$ とすると， $f(\alpha)=\dfrac{\cos^4\alpha}{3\sin\alpha}$ であることを示せ．

(3) $\dfrac{f(\alpha)}{S}\lt\dfrac{9}{16}$ を示せ．

[6] 数列 $\{x_n\}$ ， $\{y_n\}$ を次の式
$x_1=0$ ， $x_{n+1}=x_n+n+2\cos\left(\dfrac{2\pi x_n}{3}\right)$ （ $n=1,2,3,\cdots$ ）]，
$y_{3m+1}=3m$ ， $y_{3m+2}=3m+2$ ， $y_{3m+3}=3m+4$ （ $m=0,2,3,\cdots$ ）]
により定める．このとき，数列 $\{x_n-y_n\}$ の一般項を求めよ．